3 Demuestre: Si $p$ es un número primo y dos enteros $n$ , $k$ con $0 \le k \le n$ se escriben en el sistema de numeración de base $p$ como $$n = a_t \cdot p^t + a_{t-1} \cdot p^{t-1} + ... + a_1p + a_0$$ $$k = b_t \cdot p^t + b_{t-1} \cdot p^{t-1} + ... + b_1p + b_0$$ ( $a_j, b_j$ son enteros con $0 \le aj < p$ , $0 \le bj < p$ para $j = 0, 1, ..., t$ ) , entonces el número ${n \choose k}$ , al ser dividido por $p$ , deja el mismo resto que $${a_t \choose b_t}\cdot {a_{t-1} \choose b_{t-1}}\cdot ... \cdot {a_1 \choose b_1} \cdot {a_0 \choose b_0}$$ Indicación: Para enteros $n$ y $k$ con $0 \le k \le n$ , definimos ${n \choose k}= \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$ , donde para enteros $m$ con $m \ge 0$ , definimos $m! = 1 · 2 \cdot ... \cdot m$ [más completamente: $0! = 1$ y $m! = (m - 1)! \cdot m$ ( $m = 1, 2, 3, ...$ ) ].