6 Defina una sucesión $(a_n)$ mediante $a_1 =1, a_2 =2,$ y $a_{k+2}=2a_{k+1}+a_k$ para todo entero positivo $k$ . Determine todos los números reales $\beta >0$ que satisfacen las siguientes condiciones: (A) Hay infinitos pares de enteros positivos $(p,q)$ tales que $\left| \frac{p}{q}- \sqrt{2} \, \right| < \frac{\beta}{q^2 }.$ (B) Solo hay finitamente muchos pares de enteros positivos $(p,q)$ con $\left| \frac{p}{q}- \sqrt{2} \,\right| < \frac{\beta}{q^2 }$ para los cuales no existe un índice $k$ con $q=a_k.$