1 Sea $n\geq 3$ un entero fijo. Cada lado y cada diagonal de un $n$ - gono regular está etiquetado con un número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ de manera que se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Cada número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ aparece al menos una vez como etiqueta. 2. En cada triángulo formado por tres vértices del $n$ - gono, dos de los lados están etiquetados con el mismo número, y este número es mayor que la etiqueta del tercer lado. (a) Halle el $r$ máximo para el cual tal etiquetado es posible. (b) Versión más difícil (IMO Shortlist 2005): Para este valor máximo de $r$ , ¿cuántos etiquetados de este tipo hay? Versión más fácil (5th German TST 2006) - contiene la respuesta a la versión más difícil Versión más fácil (5th German TST 2006): Demuestre que, para este valor máximo de $r$ , hay exactamente $\frac{n!\left(n-1\right)!}{2^{n-1}}$ etiquetados posibles. Propuesto por Federico Ardila, Colombia