2 Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos sobre una recta. Para cada polígono convexo $ P$ cuyos vértices están en $ S$ , sea $ a(P)$ el número de vértices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el número de puntos de $ S$ que están fuera de $ P$ . Un segmento, un punto y el conjunto vacío se consideran polígonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ vértices, respectivamente. Demuestre que para todo número real $ x$ \[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\] donde la suma se toma sobre todos los polígonos convexos con vértices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamará redondo si sus elementos son el conjunto de vértices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el número de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus polígonos correspondientes son el conjunto vacío, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los demás puntos que no son vértices del polígono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio \[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}. \] Demuestre que la suma de los polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$ Propuesto por Federico Ardila, Colombia