1 Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una sucesión finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , a partir de la sucesión $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva sucesión $ A_{k + 1}$ de la siguiente manera. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcanza el valor más pequeño. (Permitimos que $ I$ o $ J$ sean vacíos; en este caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias particiones de este tipo, se elige una arbitrariamente. 2. Fijamos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demuestre que para algún $ k$ , la sucesión $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ . Autor: Omid Hatami, Irán Omid