31 Sea $\zeta = \cos \tfrac{2\pi}{19} + i \sin \tfrac{2\pi}{19}.$ Se sabe que el polinomio $x^3+16x^2+3x-229$ tiene tres raíces reales distintas, y su mayor raíz puede escribirse de manera única en la forma $$a_1 \zeta + a_2 \zeta^2 + \ldots + a_{18} \zeta^{18}$$ para algunos números racionales $a_1, \ldots, a_{18}.$ Calcule $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{18}^2.$