2 Considere un tablero de \(n\times n\) dividido en \(n^2\) casillas, con \(n\ge3\) . Inicialmente se elige una casilla y se colocan \(n^2\) monedas sobre ella. Una jugada consiste en elegir una casilla que contenga al menos dos monedas y mover dos de esas monedas a dos casillas que son simétricas respecto de la casilla elegida y comparten al menos un vértice con ella. Los cuatro tipos posibles de jugadas se muestran a continuación. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(linewidth(1.2)+fontsize(10pt)); pen gridpen = linewidth(1.2); pen coinstroke = linewidth(1.2); pen coinfill = rgb(1,0.8,0); // orange-like void drawGrid(real xo){ for (int i=0; i<=3; ++i){ draw( (xo+i,0)--(xo+i,3), gridpen ); draw( (xo, i)--(xo+3, i), gridpen ); } } void board(int t, real xo, string labeltext){ drawGrid(xo); pair C = (xo+1.5,1.5); filldraw(circle(C,0.08), black, black); pair P1, P2; if (t==1){ P1=(xo+1.5,2.5); P2=(xo+1.5,0.5); } if (t==2){ P1=(xo+0.5,1.5); P2=(xo+2.5,1.5); } if (t==3){ P1=(xo+0.5,0.5); P2=(xo+2.5,2.5); } if (t==4){ P1=(xo+0.5,2.5); P2=(xo+2.5,0.5); } filldraw(circle(P1,0.25), coinfill, coinstroke); filldraw(circle(P2,0.25), coinfill, coinstroke); draw(C--P1, EndArrow(size=8)); draw(C--P2, EndArrow(size=8)); label(labeltext, (xo+1.5,-0.45)); } board(1,0,"Type 1"); board(2,4,"Type 2"); board(3,8,"Type 3"); board(4,12,"Type 4"); [/asy] Si después de varias jugadas hay exactamente una moneda en cada casilla del tablero, demuestre que el número de jugadas de Tipo 3 es igual al número de jugadas de Tipo 4.