2 Para $n=1,2,\dots$ sea \[S_n=\log\left(\sqrt[n^2]{1^1 \cdot 2^2 \cdot \dotsc \cdot n^n}\right)-\log(\sqrt{n}),\] donde $\log$ denota el logaritmo natural. Halle $\lim_{n \to \infty} S_n$ .