9 Una matriz $A=(a_{ij})$ se llama bonita si tiene las siguientes propiedades: (i) el conjunto de todas las entradas de $A$ es $\{1,2,\dots,2t\}$ para algún entero $t$ ; (ii) las entradas son no decrecientes en cada fila y en cada columna: $a_{i,j} \le a_{i,j+1}$ y $a_{i,j} \le a_{i+1,j}$ ; (iii) las entradas iguales solo pueden aparecer en la misma fila o en la misma columna: si $a_{i,j}=a_{k,\ell}$ , entonces $i=k$ o $j=\ell$ ; (iv) para cada $s=1,2,\dots,2t-1$ , existen $i \ne k$ y $j \ne \ell$ tales que $a_{i,j}=s$ y $a_{k,\ell}=s+1$ . Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ , el número de matrices bonitas de $m \times n$ es par. Por ejemplo, las únicas dos matrices bonitas de $2 \times 3$ son $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$ .