5 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Sean dadas $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ , cada una de las cuales puede estar encendida o apagada . Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos sucesiones de pasos: en cada paso una de las lámparas es conmutada (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales sucesiones que consisten de $ k$ pasos y que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales sucesiones que consisten de $ k$ pasos, que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ es jamás encendida. Determine $ \frac {N}{M}$ . Autor: Bruno Le Floch e Ilia Smilga, Francia