19 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ la última cifra del número $x^m$ en el sistema de numeración de base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestra que la sucesión $x_m$ es periódica con período $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestra que si $m$ y $x$ son primos relativos, entonces $0_m, 1_m, \ldots, (n-1)_m$ son números distintos. Encuentra el período mínimo $t$ en términos de $n$. Si $n$ no cumple la condición dada, demuestra que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica solo a partir de algún número $k > 1.$