21 $(1)$ Comience con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. $(2)$ Extraiga una bola al azar. $(3)$ Si la bola es blanca, deténgase. En caso contrario, agregue dos bolas negras y vaya al paso $2$ . Sea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Solo para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$ , halle $a_n = P(S = n), b_n = P(S \le n), \lim_{n\to\infty} b_n$ , y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$