38 i.) El polinomio $x^{2 \cdot k} + 1 + (x+1)^{2 \cdot k}$ no es divisible por $x^2 + x + 1.$ Encuentra el valor de $k.$ ii.) Si $p,q$ y $r$ son raíces distintas de $x^3 - x^2 + x - 2 = 0,$ encuentra el valor de $p^3 + q^3 + r^3.$ iii.) Si $r$ es el residuo cuando cada uno de los números 1059, 1417 y 2312 se divide entre $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces encuentra el valor de $d-r.$ iv.) ¿Cuál es el menor entero positivo impar $n$ tal que el producto de \[ 2^{\frac{1}{7}}, 2^{\frac{3}{7}}, \ldots, 2^{\frac{2 \cdot n + 1}{7}} \] es mayor que 1000?