81 Una función $ f$ de valores reales sobre $ \mathbb{Q}$ satisface las siguientes condiciones para $ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}:$ arbitrarios: (i) $ f(0) = 0,$ (ii) $ f(\alpha) > 0 \text{ if } \alpha \neq 0,$ (iii) $ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha)f(\beta),$ (iv) $ f(\alpha + \beta) \leq f(\alpha) + f(\beta),$ (v) $ f(m) \leq 1989$ $ \forall m \in \mathbb{Z}.$ Demuestre que \[ f(\alpha + \beta) = \max\{f(\alpha), f(\beta)\} \text{ if } f(\alpha) \neq f(\beta).\]