4 Suponga que el conjunto de todos los enteros positivos se descompone en $ r$ subconjuntos (disjuntos) $ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_r = \mathbb{N}.$ Demuestre que uno de ellos, digamos $ A_i,$ tiene la siguiente propiedad: existe un $ m$ positivo tal que para cualquier $ k$ se pueden encontrar números $ a_1, a_2, \ldots, a_k$ en $ A_i$ con $ 0 < a_{j + 1} - a_j \leq m,$ $ (1 \leq j \leq k - 1)$ .