C7 Para cualesquiera conjuntos finitos $X$ y $Y$ de enteros positivos, denotemos por $f_X(k)$ el $k^{\text{th}}$ entero positivo más pequeño que no está en $X$ , y sea $$X*Y=X\cup \{ f_X(y):y\in Y\}.$$ Sea $A$ un conjunto de $a>0$ enteros positivos y sea $B$ un conjunto de $b>0$ enteros positivos. Demuestre que si $A*B=B*A$ , entonces $$\underbrace{A*(A*\cdots (A*(A*A))\cdots )}_{\text{ A appears $b$ times}}=\underbrace{B*(B*\cdots (B*(B*B))\cdots )}_{\text{ B appears $a$ times}}.$$ Propuesto por Alex Zhai, Estados Unidos