C3 El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en un lado y una $T$ en el otro. Harry tiene $n$ de estas monedas dispuestas en una línea de izquierda a derecha. Repite la siguiente operación: si hay exactamente $k>0$ monedas mostrando $H$ , entonces voltea la moneda $k$ -ésima desde la izquierda; de lo contrario, todas las monedas muestran $T$ y se detiene. Por ejemplo, si $n=3$ el proceso que comienza con la configuración $THT$ sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$ , que se detiene después de tres operaciones. (a) Demuestre que, para cada configuración inicial, Harry se detiene después de un número finito de operaciones. (b) Para cada configuración inicial $C$ , sea $L(C)$ el número de operaciones antes de que Harry se detenga. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$ . Determine el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ configuraciones iniciales posibles $C$ . Propuesto por David Altizio, EE. UU.