Hola, aquí hay una solución no tan simple que escribió Rushil: Para números reales $a,b,c,d$ no todos iguales a $0$, define una función real $f(x) = a+b\cos{2x}+c\sin{5x}+d \cos{8x}$. Supón que $f(t) = 4a$ para algún real $t$. Demuestra que existe un número real $s$ tal que $f(s)<0$. Voy a estudiar $g(x)=b\cos{2x}+c\sin{5x}+d \cos{8x}$ y mostraré que $(P1)$: $\max_{x\in[0,2\pi]}g(x)+3\min_{x\in[0,2\pi]}g(x)<0$ $\forall (b,c,d)$. Esto resolverá el problema ya que: $f(t)=4a$ significa $g(t)=3a$ $\Rightarrow$ $\max_{x\in[0,2\pi]}g(x)\geq 3a$ y, usando $P1$, tenemos entonces $\min_{x\in[0,2\pi]}g(x)<-a$ $\Rightarrow$ $f(x_{min})=a+\min_{x\in[0,2\pi]}g(x)<0$. Demostremos ahora $(P1)$. Para el resto de la demostración, diré $\max_{x\in[0,2\pi]}g(x)\leq |b|+|c|+|d|$ y buscaré: O bien un valor $g(x_{i})$ tal que $S1=|b|+|c|+|d|+3g({x_{i}})<0$ y eso será suficiente (usando $\min_{x\in[0,2\pi]}g(x)\leq g(x_{i})$). O bien valores $g(x_{i})$ y $g(x_{j})$ tales que $S2=|b|+|c|+|d|+3\frac{g({x_{i}})+g(x_{j})}{2}<0$ y eso también será suficiente ($\min_{x\in[0,2\pi]}g(x)\leq \frac{g({x_{i}})+g(x_{j})}{2}$). 0) Primero, solo quiero establecer algunas desigualdades: I1) $3\sin{\frac{\pi}{4}}-1>0$ (obvio) I2) $3\cos{\frac{\pi}{4}}-1>0$ (obvio) I3) $3\sin{\frac{\pi}{8}}-1>0$ (demostración: $\frac{1}{2}<\frac{49}{81}$ $\Rightarrow$ $\cos{\frac{\pi}{4}}<\frac{7}{9}$ $\Rightarrow$ $(\sin{\frac{\pi}{8}})^{2}>\frac{1}{9}$ $\Rightarrow$ $3\sin{\frac{\pi}{8}}-1>0$) I4) $3\cos{\frac{\pi}{8}}-1>0$ (obvio ya que $\cos{\frac{\pi}{8}}>\sin{\frac{\pi}{8}}$) I5) $\frac{3}{2}\sin{\frac{\pi}{4}}-1>0$ (fácil de comprobar) Nota para lo siguiente que $b$, $c$ y $d$ no son todos cero ya que esto implicaría $f(x)=a\neq 0$, y sería imposible encontrar $t$ tal que $f(t)=4a$. 1) Caso: $b\geq 0$, $c\geq 0$, $d\geq 0$: Con $x=\frac{3\pi}{8}$, tenemos $g(x)=-b\sin{\frac{\pi}{4}}-c\sin{\frac{\pi}{8}}-d$ $\Rightarrow$ $S1=-b(3\sin{\frac{\pi}{4}}-1)-c(3\sin{\frac{\pi}{8}}-1)-2d < 0$. Tenemos $S1<0$ y no $S1\leq 0$ ya que $b$, $c$ y $d$ no son todos cero. 2) Caso: $b\geq 0$, $c\geq 0$, $d\leq 0$: Con $x=\frac{3\pi}{2}$, tenemos $g(x)=-b-c+d$ $\Rightarrow$ $S1=-2b-2c+2d< 0$. 3) Caso: $b\geq 0$, $c\leq 0$, $d\geq 0$: Con $x=\frac{11\pi}{8}$, tenemos $g(x)=-b\cos{\frac{\pi}{4}}+c\sin{\frac{\pi}{8}}-d$ $\Rightarrow$ $S1=-b(3\sin{\frac{\pi}{4}}-1)+c(3\sin{\frac{\pi}{8}}-1)-2d < 0$. 4) Caso: $b\geq 0$, $c\leq 0$, $d\leq 0$: Con $x=\frac{\pi}{2}$, tenemos $g(x)=-b+c+d$ $\Rightarrow$ $S1=-2b+2c+2d< 0$. 5) Caso: $b\leq 0$, $c\geq 0$, $d\geq 0$: Con $x=\frac{9\pi}{8}$, tenemos $g(x)=b\cos{\frac{\pi}{4}}-c\cos{\frac{\pi}{8}}-d$ $\Rightarrow$ $S1=b(3\cos{\frac{\pi}{4}}-1)-c(3\cos{\frac{\pi}{8}}-1)-2d < 0$. 6) Caso: $b\leq 0$, $c\geq 0$, $d\leq 0$: Con $x=0$ y $y=\frac{\pi}{4}$, tenemos $\frac{g(x)+g(y)}{2}=b\frac{1}{2}-c\frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{4}}+d$ $\Rightarrow$ $S2=b\frac{1}{2}-c(\frac{3}{2}\sin{\frac{\pi}{4}}-1)+2d < 0$. 7) Caso: $b\leq 0$, $c\leq 0$, $d\geq 0$: Con $x=\frac{\pi}{8}$, tenemos $g(x)=b\cos{\frac{\pi}{4}}+c\cos{\frac{\pi}{8}}-d$ $\Rightarrow$ $S1=b(3\cos{\frac{\pi}{4}}-1)+c(3\cos{\frac{\pi}{8}}-1)-2d < 0$. 8) Caso: $b\leq 0$, $c\leq 0$, $d\leq 0$: Con $x=0$ y $y=\frac{5\pi}{4}$, tenemos $\frac{g(x)+g(y)}{2}=b\frac{1}{2}+c\frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{4}}+d$ $\Rightarrow$ $S2=b\frac{1}{2}+c(\frac{3}{2}\sin{\frac{\pi}{4}}-1)+2d < 0$. Y esto cierra la demostración (excepto en caso de errores... :( ). Sé que esta demostración es bastante larga pero ya que este tema se publicó hace más de 1 año, creo que nadie ha encontrado una más simple... por ahora. -- Patrick

Olimpiada India IMO Training Camp 2005 Problema 3

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