1: ATimo escribió: ABC es un triángulo con A=90 y C=30. Sea M el punto medio de BC. Sea W una circunferencia que pasa por A y es tangente en M a BC. Sea P la circunferencia circunscrita de ABC. W interseca a AC en N y a P en M. Demuestra que MN es perpendicular a BC. Déjame corregir tu pregunta y ponerla en $\text{\LaTeX}$. :) **Pregunta corregida** **Pregunta** $ABC$ es un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $\angle ACB=30^{\circ}$. Sea $M_1$ el punto medio de $BC$. Sea $W$ una circunferencia que pasa por $A$ y es tangente en $M_1$ a $BC$. Sea $P$ la circunferencia circunscrita de $ABC$. $W$ interseca a $AC$ en $N$ y a $P$ en $M$. Demuestra que $MN$ es perpendicular a $BC$. **Solución** **Solución** Sea $M_1$ el punto medio de $BC$. Y sea $C_1$ el centro de $W$. Entonces, primero mostramos que $C_1\in AC$. Claramente $C_1M_1\perp BC$. Y también, como $M_1$ es el centro de $P$ ya que $ABC$ es un triángulo rectángulo, tenemos $M_1A=M_1B=M_1C$. Así que $\angle M_1AB=\angle M_1BA=60^{\circ}$. Y esto implica que $\triangle AM_1B$ es equilátero. Entonces, $\angle C_1M_1A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=\angle C_1AM_1$. Pero entonces, $\angle C_1AM_1+\angle M_1AB=90^{\circ}=\angle C_1AB=\angle CAB$. Esto muestra que $\boxed{C_1\in AC}$. A continuación, $C_1N=C_1M_1$ y $\angle AC_1M_1=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle NC_1M_1$, lo que muestra que $\triangle NC_1M_1$ es equilátero. De nuevo, $C_1M=C_1A$ muestra que $\angle C_1AM=\angle C_1MA$. Ahora nota que $AM$ es el eje radical de $P$ y $W$. Así que $M_1C_1\perp AM$. Sea $M_1C_1\cap AM=X$. Entonces, $AC_1X=60^{\circ}\Rightarrow NC_1M=180^{\circ}-\angle MC_1X-60^{\circ}=60^{\circ}$. Pero $C_1M=C_1N$. Por lo tanto, $\angle MNC_1=\angle NC_1M\Rightarrow MN\parallel M_1C_1\Rightarrow \boxed{MN\perp BC}$. Esto completa la demostración. :)