3 Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc: suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario; entonces existe $K$ que depende de $\epsilon$ tal que para cualesquiera 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ con $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ se tiene: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones usando la conjetura $abc$ : a) El último teorema de Fermat para $n>N$ , donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y solo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \] Omid