1 (a) Decimos que un hiperplano $H$ dado por esta ecuación \[H=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n=b\}\] ( $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb R^n$ y $b\in \mathbb R$ constantes) biseca al conjunto finito $A\subseteq \mathbb R^n$ si cada uno de los dos semiespacios $H^+=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n>b\}$ y $H^-=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n<b\}$ contiene a lo sumo $\lfloor \tfrac{|A|}{2}\rfloor$ puntos de $A$ . Suponga que $A_1,\dots,A_n$ son subconjuntos finitos de $\mathbb R^n$ . Demuestre que existe un hiperplano $H$ en $\mathbb R^n$ que los biseca a todos al mismo tiempo. (b) Suponga que los puntos de $B=A_1\cup \dots \cup A_n$ están en posición general. Demuestre que existe un hiperplano $H$ tal que $H^+\cap A_i$ y $H^-\cap A_i$ contienen exactamente $\lfloor \tfrac{|A_i|}{2}\rfloor$ puntos de $A_i$ . (c) Con la ayuda de la parte (b), muestre que el siguiente teorema es verdadero: Dos ladrones quieren dividir un collar abierto que tiene $d$ tipos diferentes de piedras, donde el número de piedras de cada tipo es par, de modo que cada uno de los ladrones reciba el mismo número de piedras de cada tipo. Muestre que los dos ladrones pueden lograrlo cortando el collar en a lo sumo $d$ lugares.