18:I[96096,["/_next/static/chunks/c6db19d9c5fa184a.js","/_next/static/chunks/bfe171a9b29c6141.js","/_next/static/chunks/215a462e6e3d5704.js","/_next/static/chunks/8e5a4ef2cd34cd2e.js","/_next/static/chunks/7f58f759df62ad2a.js","/_next/static/chunks/3d80c91f0baaa7e1.js","/_next/static/chunks/69017dabd5a7bdb1.js","/_next/static/chunks/16e35d7ca69704d5.js","/_next/static/chunks/1e99a352826083c0.js","/_next/static/chunks/d500812f89b1de2c.js","/_next/static/chunks/276dde09bcd6a58a.js","/_next/static/chunks/05f60f5d8542f370.js","/_next/static/chunks/a3977a4b8be0f95f.js"],"Recent"] 19:T511,Primero, un lema. Lema: Para cualquier primo impar $p$, existen enteros positivos $a, b$ con \[1 < \frac{p^a}{2^b} < \frac{p}{p - 1}\] Demostración: El menor $a$ para el cual $p^a > 2^b$ es $\lceil b\log_{p}{2} \rceil$ para entero $b$. Como $\log_p{2}$ es irracional, algún múltiplo suyo tiene parte fraccionaria arbitrariamente cercana a $1$. Como la cota superior deseada es una constante, simplemente toma el $b$ apropiado para que la parte fraccionaria sea lo suficientemente grande (cercana a $1$) de modo que \[1 < \frac{p^a}{2^b} < \frac{p}{p - 1}\] Sea $a_1 = 2^N$ donde $N$ se determinará más adelante. Luego elige $a, b$ de modo que \[1 < \frac{3^a}{2^b} < \frac{3}{2}\] y toma $a_2 = 2^{N - b}3^a$ de donde $a_2 > a_1$ pero \[\phi(a_2) = 2^{N - b}3^{a - 1} < 2^{N - 1} = \phi(a_1)\] Podemos aplicar este proceso para tantos primos como queramos, simplemente desviando potencias de dos de $a_k$ y convirtiéndolas en una nueva potencia prima en $a_{k + 1}$ de modo que $a_k < a_{k + 1}$ pero $\phi(a_k) > \phi(a_{k + 1})$ (lo cual podemos hacer gracias a nuestro lema). Todo lo que necesitamos es asegurarnos de que haya suficientes potencias de dos en $a_1$ para continuar nuestro proceso tanto como queramos (hasta que $v_2(a_n) > 0$); simplemente toma $N$ suficientemente grande.1a:T484,Aquí hay un enfoque alternativo. Usamos inducción sobre $n$ . El caso base, $n=1$ , es trivial. Ahora supón que podemos encontrar enteros positivos $ a_{1}\phi(a_{2})>...>\phi(a_{k}) $ para algún entero positivo $k$ . Considera enteros positivos $x$ tales que $(x, a_i) = 1$ para todo $1 \le i \le k$ . Entonces define $b_i = xa_i$ de modo que $\phi(b_i) = \phi(a_i) \phi(x)$ para todo $1 \le i \le k$ . Si podemos encontrar un entero positivo $y$ tal que $\phi(b_1) < y-1 < y < 2y < b_1$ hemos terminado por el Postulado de Bertrand, ya que entonces existe un primo $p$ tal que $p < b_1$ y $\phi(p) = p-1 > \phi(b_1)$ . Sea $x=q_1 q_2 \cdots q_l$ para algún entero positivo $l$ donde $q_1 < q_2 < \cdots < q_l$ son los primos consecutivos mayores que el primo más grande que divide a algún $a_i$ . Entonces $\frac{b_1}{\phi(b_1)} > (1 + \frac{1}{q_1-1})(1 + \frac{1}{q_2-1}) \cdots (1 + \frac{1}{q_l - 1}) \ge \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \cdots \frac{1}{q_l}$ , lo cual diverge ya que la suma de los recíprocos de los primos $2, 3, 5, \cdots$ diverge. Así que tal $y$ debe existir y hemos terminado.

Olimpiada Nacional de Irán 2012 Problema A3

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