5 $p=3k+1$ es un número primo. Para cada $m \in \mathbb Z_p$ , defina la función $L$ como sigue: $L(m) = \sum_{x \in \mathbb{Z}_p}^{ } \left ( \frac{x(x^3 + m)}{p} \right )$ a) Para todo $m \in \mathbb Z_p$ y $t \in {\mathbb Z_p}^{*}$ demuestre que $L(m) = L(mt^3)$ . (5 puntos) b) Demuestre que existe una partición de ${\mathbb Z_p}^{*} = A \cup B \cup C$ tal que $|A| = |B| = |C| = \frac{p-1}{3}$ y $L$ es constante en cada conjunto. Equivalentemente, existen $a,b,c$ para los cuales $L(x) = \left\{\begin{matrix} a & & &x \in A \\ b& & &x \in B \\ c& & & x \in C \end{matrix}\right.$ . (7 puntos) c) Demuestre que $a+b+c = -3$ . (4 puntos) d) Demuestre que $a^2 + b^2 + c^2 = 6p+3$ . (12 puntos) e) Sean $X= \frac{2a+b+3}{3},Y= \frac{b-a}{3}$ ; demuestre que $X,Y \in \mathbb Z$ y también que $p= X^2 + XY +Y^2$ . (2 puntos) ( ${\mathbb Z_p}^{*} = \mathbb Z_p \setminus \{0\}$ )