2 Definimos la distancia entre dos circunferencias $\omega ,\omega '$ como la longitud de la tangente exterior común de las circunferencias y la denotamos por $d(\omega , \omega ')$. Si dos circunferencias no tienen una tangente exterior común, entonces la distancia entre ellas no está definida. Un punto también es una circunferencia de radio $0$ y la distancia entre dos circunferencias puede ser cero. (a) Centroide. $n$ circunferencias $\omega_1,\dots, \omega_n$ están fijas en el plano. Demuestre que existe una única circunferencia $\overline \omega$ tal que para cada circunferencia $\omega$ del plano, el cuadrado de la distancia entre $\omega$ y $\overline \omega$ menos la suma de los cuadrados de las distancias de $\omega$ a cada una de las $\omega_i$ con $1\leq i \leq n$ es constante; en otras palabras: \[d(\omega,\overline \omega)^2-\frac{1}{n}{\sum_{i=1}}^n d(\omega_i,\omega)^2= constant\] (b) Mediatriz. Suponga que la circunferencia $\omega$ tiene la misma distancia a $\omega_1,\omega_2$. Considere $\omega_3$ una circunferencia tangente a ambas tangentes exteriores comunes de $\omega_1,\omega_2$. Demuestre que la distancia de $\omega$ al centroide de $\omega_1 , \omega_2$ no es mayor que la distancia entre $\omega$ y $\omega_3$. (Si todas las distancias están definidas) (c) Circuncentro. Sea $C$ el conjunto de todas las circunferencias tales que cada una de ellas tiene la misma distancia a las circunferencias fijas $\omega_1,\omega_2,\omega_3$. Demuestre que existe un punto en el plano que es el centro de homotecia exterior de cada dos elementos de $C$. (d) Tetraedro regular. ¿Existen 4 circunferencias en el plano tales que la distancia entre cada dos de ellas sea igual a $1$? El tiempo permitido para este problema fue de 150 minutos.