1 Un $n$ - palo es una figura conexa formada por $n$ cerillas de longitud $1$ colocadas horizontal o verticalmente, de modo que no haya dos que se toquen en puntos distintos de sus extremos. Dos figuras que pueden transformarse una en la otra mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones se consideran iguales. Un $n$ - mino es una figura construida uniendo $n$ cuadrados de lado 1 por sus lados, de modo que exista un camino sobre los cuadrados entre cualesquiera dos cuadrados del $n$ - mino. Sea $S_n$ el número de $n$ - palos y $M_n$ el número de $n$ - minos; por ejemplo, $S_3=5$ y $M_3=2$. (a) Demuestre que para todo $n$ natural se cumple $S_n \geq M_{n+1}$. (b) Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $(2.4)^n \leq S_n \leq (16)^n$. Un segmento de retícula es un segmento del plano de longitud 1 cuyos dos extremos son puntos enteros. Un polipalo se llama sabio si, usando él y sus rotaciones o reflexiones, podemos cubrir todos los segmentos de retícula sin superposiciones; en caso contrario se llama no sabio. (c) Demuestre que existen al menos $2^{n-6}$ $n$ - palos no sabios distintos. (d) Demuestre que todo polipalo que tenga la forma de un camino que solo avanza hacia arriba y hacia la derecha es sabio. (e) Puntos extra: Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $3^n \leq S_n \leq 12^n$. El tiempo permitido para este examen fue de 2 horas.