4 Un polígono $A$ que no se interseca a sí mismo y tiene perímetro $p$ se llama Rotundo si para cada dos puntos $x,y$ sobre los lados de este polígono cuya distancia en el plano es menor que $1$ su distancia sobre el polígono es a lo sumo $\frac{p}{4}$ . (La distancia sobre el polígono es la longitud del camino más corto entre dos puntos del polígono) Ahora demostraremos que podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en cualquier polígono rotundo. Los matemáticos de dos planetas, la Tierra y Tarator, tienen dos enfoques diferentes para demostrar el enunciado. En ambos enfoques, por "inner chord" entendemos un segmento con ambos extremos sobre el polígono, y una "diagonal" es una cuerda interior cuyos extremos son vértices del polígono. Enfoque terrestre: Cuerda maximal Sabemos que para todo polígono existe una cuerda interior $xy$ de longitud a lo sumo 1 tal que para cualquier cuerda interior $x'y'$ de longitud a lo sumo 1, la distancia sobre el polígono entre $x,y$ es mayor que la distancia sobre el polígono entre $x',y'$ . Esta cuerda se llama la cuerda maximal . En el polígono rotundo $A_0$ hay dos situaciones diferentes para la cuerda maximal: (a) Demuestre que si la longitud de la cuerda maximal es exactamente $1$ , entonces un semicírculo cuyo diámetro es la cuerda maximal cabe completamente dentro de $A_0$ , por lo que podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . (b) Demuestre que si la longitud de la cuerda maximal es menor que uno, aún podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . Enfoque de Tarator: Triangulación Enunciado 1: Para cualquier polígono tal que la longitud de todos sus lados sea menor que uno y ningún círculo de radio $\frac{1}{4}$ quepa completamente dentro de él, existe una triangulación del mismo mediante diagonales tal que ninguna diagonal de longitud mayor que $1$ aparezca en la triangulación. Enunciado 2: Cualquier polígono tal que ningún círculo de radio $\frac{1}{4}$ quepa completamente dentro de él puede dividirse en triángulos cuyos lados sean cuerdas interiores de longitud a lo sumo 1. Los matemáticos del planeta Tarator demostraron que si el segundo enunciado es verdadero, para cada polígono rotundo existe un círculo de radio $\frac{1}{4}$ que cabe completamente dentro de él. (c) Demuestre que si el segundo enunciado es verdadero, entonces para cada polígono rotundo existe un círculo de radio $\frac{1}{4}$ que cabe completamente dentro de él. Descubrieron que si el primer enunciado es verdadero entonces el segundo enunciado también lo es, por lo que ofrecieron una recompensa de un doogh por demostrar el primer enunciado. Un joven matemático terrestre llamado J.N. encontró un contraejemplo para el enunciado 1, recibiendo así la recompensa. (d) Encuentre un 1392-ágono que sea contraejemplo para el enunciado 1. Pero los taratorianos no están decepcionados y aún intentan demostrar el segundo enunciado. (e) (Puntos extra) Demuestre o refute el segundo enunciado. El tiempo permitido para este problema fue de 150 minutos.