2 Para un número primo $q$, se dice que el polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros es factorizable si existen polinomios no constantes $f_q,g_q$ con coeficientes enteros tales que todos los coeficientes del polinomio $Q(x)=P(x)-f_q(x)g_q(x)$ son divisibles por $q$; y escribimos: $$P(x)\equiv f_q(x)g_q(x)\pmod{q}$$ Por ejemplo, los polinomios $2x^3+2,x^2+1,x^3+1$ se pueden factorizar módulo $2,3,p$ de la siguiente manera: $$\left\{\begin{array}{lll} X^2+1\equiv (x+1)(-x+1)\pmod{2}\\ 2x^3+2\equiv (2x-1)^3\pmod{3}\\ X^3+1\equiv (x+1)(x^2-x+1) \end{array}\right.$$ Además, el polinomio $x^2-2$ no es factorizable módulo $p=8k\pm 3$. a) Halle todos los números primos $p$ tales que el polinomio $P(x)$ es factorizable módulo $p$: $$P(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x-5$$ b) ¿Existe un polinomio irreducible $P(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ con coeficientes enteros tal que para cada número primo $p$ sea factorizable módulo $p$?