Sea $f: \mathbb{Z}[x,y] \to \mathbb{Z}[x,y]$ una función que satisface las siguientes condiciones: $f(1) = 1$ , donde $1$ denota el polinomio constante $1$ ; Para todos $P, Q \in \mathbb{Z}[x,y]$ , $f(P+Q) = f(P) + f(Q)$ ; Para todo $P \in \mathbb{Z}[x,y]$ y para todo número primo $r$ , existen $n_0, m_0 \in \mathbb{Z}$ tales que $r \mid P(n_0, m_0)$ si y solo si existen $n_1, m_1 \in \mathbb{Z}$ tales que $r \mid f(P)(n_1, m_1)$ . Demuestre que $f(PQ) = f(P)f(Q)$ para todos $P, Q \in \mathbb{Z}[x,y]$ .