1 Sean $n,k$ enteros positivos tales que $n\ge k$ . $n$ lámparas están colocadas sobre una circunferencia, todas apagadas. En cada paso podemos cambiar el estado de $k$ lámparas consecutivas. En los tres casos siguientes, ¿cuántos estados de las lámparas hay entre todos los $2^n$ estados posibles que pueden obtenerse a partir del estado inicial mediante una cierta serie de operaciones? i) $k$ es un número primo mayor que $2$ ; ii) $k$ es impar; iii) $k$ es par.