2 Sea $N$ un entero positivo. Hay enteros positivos $a_{1}, a_{2},\cdots, a_{N}$ y ninguno de ellos es múltiplo de $2^{N+1}$ . Para cada entero $n\geq N+1$ , defina $a_{n}$ como sigue: si el resto de dividir $a_{k}$ entre $2^{n}$ es el menor entre los restos de dividir $a_{1},\cdots, a_{n-1}$ entre $2^{n}$ , defina $a_{n}=2a_{k}$ . Si hay varios enteros $k$ que satisfacen la condición anterior, tome el mayor. Demuestre la existencia de un entero positivo $M$ que satisface $a_{n}=a_{M}$ para todo $n\geq M$ .