5 Sea \(\mathbb{Z}_{>0}\) el conjunto de todos los enteros positivos. Determina todos los subconjuntos \(\mathcal{S}\) de \(\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}\) para los cuales existe una función \(f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}\) tal que \[\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.\] Pitchayut Saengrungkongka, Tailandia