N8 Sea $p\ge 5$ un número primo y sea $n$ un número natural. Sea $f$ una función $ f: \mathbb{Z_{ \neq }}_0 \rightarrow \mathbb{ N }_0 $ que satisface las siguientes condiciones: i) Para toda sucesión de enteros que satisface $ a_i \not\in \{0, 1\} $ y $ p $ $\not |$ $ a_i-1 $ , $ \forall $ $ 1 \le i \le p-2 $ , $$ \displaystyle \sum^{p-2}_{i=1}f(a_i)=f(a_1a_2 \cdots a_{p-2}) $$ ii) Para todos los enteros coprimos $ a $ y $ b $ , $ a \equiv b \pmod p \Rightarrow f(a)=f(b) $ iii) Existe $k \in \mathbb{Z}_{\neq 0} $ que satisface $ f(k)=n $ Demuestre que el número de tales funciones es $ d(n) $ , donde $ d(n) $ denota el número de divisores de $ n $ .