Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$ . Construyamos paralelas a sus lados que pasan por sus vértices y puntos medios, las cuales dividen el hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices se llaman nodos. Para cada nodo $X$ , definimos su trío como la figura formada por tres triángulos adyacentes con vértice $X$ , tales que su intersección es únicamente $X$ y no son congruentes por pares. a) Determine el área máxima posible de un trío. b) Muestre que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono. c) Determine el número total de triángulos asociados con el hexágono.