. Demuestre que para todos los números reales no negativos $a$ y $b$ se cumple la desigualdad $\frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ . P2. Dos trabajadores salen de la misma casa al mismo tiempo y caminan hacia la misma fábrica. La longitud del paso del primer trabajador es $10\%$ más corta que la del segundo, pero da $10\%$ más pasos por unidad de tiempo que el segundo. ¿Qué trabajador llega primero a la fábrica? Explique su respuesta. P3. Dentro de un cubo de lado $1$ hay $9$ puntos. Demuestre que entre ellos existen dos puntos cuya distancia es a lo sumo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . P4. Durante una tregua, caballeros de dos clanes hostiles se sientan alrededor de una mesa redonda. Resulta que el número de caballeros que tienen a un enemigo sentado a su derecha es igual al número de caballeros que tienen a un amigo sentado a su derecha. Demuestre que el número total de caballeros es divisible por $4$ .