. Un número $N$ es igual al producto de $200$ números naturales distintos. Demuestre que $N$ tiene al menos $19901$ divisores naturales distintos (incluyendo $1$ y al propio $N$ ). P2. Halle todos los valores del parámetro $p$ para los cuales existen exactamente $2002$ enteros $x$ que satisfacen la desigualdad $x^{2}-\pi x+p<0$ . P3. El polinomio $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ tiene tres raíces reales distintas, mientras que el polinomio $P(Q(x))$ , donde $Q(x)=x^{2}+x+2003$ , no tiene raíces reales. Demuestre que $P(2003)>\frac{1}{64}$ . P4. El triángulo $ABC$ está dividido por sus medianas en seis triángulos más pequeños. Los radios de las circunferencias inscritas de cuatro de estos triángulos son iguales. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.