. ¿Para qué números naturales $n$ es el número $2^{n}+65$ un cuadrado perfecto? P2. En un tablero están escritos tres números $4, 7, 13$ . Se permite borrar uno de los números y reemplazarlo por la diferencia entre el doble del número borrado y uno de los otros dos números (por ejemplo, $(4,7,13)\to(4,1,13)$ ) . Esta operación se realiza varias veces. ¿Puede uno de los números llegar a ser igual a (a) $2002$ ; (b) $2003$ ? P3. Demuestre la desigualdad $a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(1-abc)$ , donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de perímetro $2$ . P4. Se sabe que la gráfica de la función $y=f(x)+2g(x)$ es una línea recta que pasa por los puntos $A(-1,3)$ y $B(1,2)$ , y la gráfica de $y=3f(x)-g(x)$ es la imagen de la recta $AB$ bajo reflexión respecto al eje $y$ . Halle las funciones $f$ y $g$ . P5. En el triángulo $ABC$ , la mediana $BK$ y la bisectriz $CL$ se cortan en el punto $P$ . Demuestre que $\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$ .