. En la sucesión $U_{1}, U_{2}, U_{3}, \ldots$ tenemos $U_{1}=U_{2}=1$ , y cada término a partir del tercero es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos anteriores. ¿Es $U_{2003}$ divisible por $7$ ? P7. ¿Puede la suma de $2003$ números naturales consecutivos ser igual a la $2003$ -ésima potencia de un número natural? P8. Un rey se coloca en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez $5\times5$ . En un movimiento, puede moverse una casilla a la derecha, una casilla hacia arriba, o una casilla en diagonal hacia arriba a la derecha. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el rey para llegar a la esquina superior derecha del tablero si le está prohibido visitar la casilla central? P9. Un tablero cuadrado $6\times6$ se embaldosa con dominós $1\times2$ . Demuestre que es posible trazar un corte recto vertical u horizontal del tablero que no corte ningún dominó. P10. Las diagonales de un paralelogramo $ABCD$ se cortan en el punto $O$ . Demuestre que el punto $O$ y los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $A$ a las rectas $BC$ , $BD$ y $CD$ se encuentran sobre una misma circunferencia.