. ¿Es posible colocar números naturales en los vértices de un cubo de modo que para cada par de vértices unidos por una arista, uno de los dos números divida al otro, mientras que para todos los demás pares esta propiedad no se cumpla? P7. Halle el número de soluciones en números naturales de la ecuación \[\left[\frac{x}{10}\right]=\left[\frac{x}{11}\right]+1.\] P8. Demuestre que cualquier función que satisface $f(x+2)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ es periódica, y halle su período. P9. Un rey se coloca en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez $7\times7$ . Puede moverse una casilla ya sea a la derecha, hacia arriba, o en diagonal hacia arriba a la derecha. ¿De cuántas maneras puede el rey llegar a la esquina superior derecha del tablero si su camino no puede contener celdas situadas por encima de la diagonal principal del tablero? P10. Las diagonales de un paralelogramo $ABCD$ se cortan en el punto $O$ . Demuestre que el punto $O$ y los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $A$ a las rectas $BC$ , $BD$ y $CD$ se encuentran sobre una misma circunferencia.