. Sean $a, b, c$ números reales tales que $a+b+c=0$ y $a^{4}+b^{4}+c^{4}=50$ . Halle el valor de $ab+bc+ca$ . P2. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de la recta $MN$ y la bisectriz del ángulo $B$ (o su prolongación). Demuestre que $\angle BPC$ es un ángulo recto. P3. Demuestre que para todo natural $n$ , existen $n$ números naturales compuestos consecutivos. P4. Halle todos los enteros $b, c$ tales que la ecuación cuadrática $x^{2}-bx+c=0$ tiene dos raíces reales $x_{1}, x_{2}$ que satisfacen $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5$ . P5. Se da un trapecio rectángulo $ABCD$ , donde $\angle B$ y $\angle C$ son ángulos rectos. Se construye una circunferencia con diámetro $AD$ que interseca el lado $BC$ en los puntos $M$ y $N$ . Demuestre que $BM \cdot MC = AB \cdot CD$ . P6. Dentro de un cuadrado de lado $1$ hay varias circunferencias cuya suma total de longitudes de circunferencia es igual a $10$ . Demuestre que existe una recta que interseca al menos cuatro de estas circunferencias.