. Calcule el valor $\frac{1^{4}+2009^{4}+2010^{4}}{1^{2}+2009^{2}+2010^{2}}$ . P2. Un pentágono $ABCDE$ satisface $AB=BC=CD=DE, \angle B=96^{\circ}, \angle C=\angle D=108^{\circ}$ . Halle $\angle E$ . P3. Para el Año Nuevo, Ded Moroz les dio a los niños una caja de caramelos. Aizhan recibió el $70\%$ de todos los caramelos, Tanya recibió el $25\%$ y el resto fue para Marzhan. Luego Aizhan le dio $20$ caramelos a Marzhan, después de lo cual Tanya y Marzhan combinaron sus porciones y dividieron los caramelos en partes iguales. Después de eso, Aizhan tenía tres veces más caramelos que Marzhan. Al día siguiente, Ded Moroz les dio a cada niña $x$ caramelos más. Después de esto, Aizhan tenía el doble de caramelos que Marzhan. Halle $x$ . P4. Si el número $2^{m}+3^{n}$ es divisible por $5$ , demuestre que el número $2^{n}+3^{m}$ también es divisible por $5$ . P5. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ , respectivamente. Para cualquier punto $S$ del lado $BC$ , demuestre la desigualdad \[(MB-MS)\cdot(NC-NS)<0.\] P6. Un hongo se llama $\text{bad}$ si contiene al menos $10$ gusanos. En una cesta hay $90$ hongos malos y $10$ buenos. ¿Puede ocurrir que después de que algunos gusanos se arrastren de los hongos malos a los buenos, todos los hongos se vuelvan buenos?