. Sean $f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones tales que $f(g(x))=g(f(x))=-x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . 1) Demuestre que tanto $f$ como $g$ son funciones impares. 2) Dé un ejemplo de tales funciones con $f \neq g$ . P2. En un paralelogramo $ABCD$ , el ángulo $\angle B$ es obtuso. La recta $AD$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ en un punto $E \neq A$ , y la recta $CD$ corta a $\omega$ en un punto $F \neq C$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ está sobre $\omega$ . P3. Demuestre que existe un número natural $n>1$ tal que el producto de algunos $n$ números naturales consecutivos es igual al producto de algunos $n+100$ números naturales consecutivos. P4. Demuestre que $x\cos x\leqslant\frac{\pi^{2}}{16}$ para todo $x$ con $0 \leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$ . P5. Un número natural $m$ satisface que la suma de las cifras de la representación decimal de $8^{m}$ es igual a $8$ . ¿Puede la última cifra de $8^{m}$ ser igual a $6$ ? P6. Se dan dos conjuntos: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid3^{x}=x+2\}$ y $B=\{x\in\mathbb{R}\mid \log_{3}(x+2)+\log_{2}(3^{x}-x)=3^{x}-1\}$ . Demuestre que $A \subset B$ y que el conjunto $B$ contiene tanto números racionales como irracionales.