. Un polinomio cuadrático $f(x)=ax^{2}+bx+c$ es tal que el polinomio $(f(x))^{3}-f(x)$ tiene exactamente tres raíces reales. Halle la coordenada $y$ del vértice de la parábola $y=f(x)$ . P2. En un paralelogramo $ABCD$ , el ángulo $\angle B$ es obtuso. La recta $AD$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ en un punto $E \neq A$ , y la recta $CD$ corta a $\omega$ en un punto $F \neq C$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ está sobre $\omega$ . P3. Un número natural $n>1$ es tal que la representación decimal del número $9997n$ consta solo de cifras impares. Halle el mínimo valor posible de $n$ . P4. Demuestre que $x\cos x\leqslant\frac{\pi^{2}}{16}$ para todo $x$ con $0 \leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$ . P5. Los números naturales $a, b, c$ satisfacen que los números $\frac{bc}{b+c}, \frac{ca}{c+a}, \frac{ab}{a+b}$ son enteros. Demuestre que $\gcd(a,b,c)>1$ . P6. Se dan dos conjuntos: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid3^{x}=x+2\}$ y $B=\{x\in\mathbb{R}\mid \log_{3}(x+2)+\log_{2}(3^{x}-x)=3^{x}-1\}$ . Demuestre que $A \subset B$ y que el conjunto $B$ contiene tanto números racionales como irracionales.