. Sean $A, B, C$ tres dígitos impares distintos. Se sabe que $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ es un número de tres cifras. Halle $s$ . Aquí $\overline{abc}$ denota el número cuya representación decimal está formada por los dígitos $a, b, c$ en ese orden. P2. Sobre el lado $BC$ de un triángulo equilátero $ABC$ se construye un semicírculo situado fuera del triángulo. Sobre este semicírculo se eligen los puntos $D$ y $E$ tales que $BD=DE=EC$ . Demuestre que los segmentos $AD$ y $AE$ dividen el lado $BC$ en tres partes iguales. P3. En un concurso de matemáticas en el que se ofrecen $4$ problemas, participan $25$ estudiantes. Cada problema solo se puntúa como resuelto o no resuelto (no se consideran las soluciones parciales). Demuestre que o bien existen $4$ participantes que resolvieron exactamente el mismo conjunto de problemas (posiblemente los cuatro no resolvieron ninguno de los problemas), o bien existen $2$ participantes tales que cada uno de ellos resolvió exactamente los problemas que el otro no resolvió. P4. Demuestre que para todos los números naturales $n>1$ y $k>1$ , el número $n^{k+2}-n^{k}$ es divisible por $12$ . P5. Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x+y+z=2$ . Demuestre que se cumple la desigualdad \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{4}\leqslant\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\] . P6. Demuestre que existen $2011$ puntos distintos en el plano, no todos sobre una misma recta, tales que todas las distancias entre pares de ellos son números naturales.