. Describa todos los triángulos $ABC$ para los cuales se cumple la igualdad $AB+CK=AC+BL$ , donde $CK$ y $BL$ son las alturas del triángulo $ABC$ . P2. En un concurso de matemáticas en el que se ofrecen $4$ problemas, participan $25$ estudiantes. Cada problema solo se puntúa como resuelto o no resuelto (no se consideran las soluciones parciales). Demuestre que o bien existen $4$ participantes que resolvieron exactamente el mismo conjunto de problemas (posiblemente los cuatro no resolvieron ninguno de los problemas), o bien existen $2$ participantes tales que cada uno de ellos resolvió exactamente los problemas que el otro no resolvió. P3. Halle todos los pares de números primos $p$ y $q$ para los cuales $0<\left|\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right|<\frac{4}{\sqrt{pq}}$ . P4. Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$ . Demuestre que se cumple la desigualdad $abc\leqslant(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)^2$ . P5. Defina $s=1!(1^{2}+1+1)+2!(2^{2}+2+1)+\ldots+2011!(2011^{2}+2011+1)$ . Halle el valor de $\frac{s+1}{2012!}$ . P6. Todos los números de siete cifras cuya representación decimal contiene cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ exactamente una vez se numeran en orden creciente (el número $1234567$ tiene índice $1$ ) . ¿Qué índice tiene el número $3654721$ ?