. Las seis distancias por pares entre cuatro puntos distintos del plano son iguales a $a, a, a, a, 2a, b$ . Halle la razón $\frac{b}{a}$ . P2. Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ que satisfacen la siguiente condición: la suma de los primeros $m$ números naturales impares excede en $n$ a la suma de los primeros $212$ números naturales pares. P3. Halle el resto cuando el polinomio $x^{2013}+1$ se divide por $(x+1)^{3}$ . P4. La función $f: \mathbb{R}\backslash\{0,1\}\to\mathbb{R}$ está definida por $f(x)=\frac{(x^{2}-x+1)^{3}}{x^{2}(x-1)^{2}}$ . Demuestre que $f(x)=f(1-x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$ para todo $x\in\mathbb{R}\backslash\{0,1\}$ . P5. Sobre los lados $AC$ y $AB$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen puntos $M$ y $N$ , respectivamente, tales que $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$ . Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ . Demuestre que $\angle APC=90^{\circ}$ . P6. En un tablero están escritos los números $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}$ . Cada minuto se realiza la siguiente operación: dos números $a$ y $b$ se borran y se reemplazan por el número $a+b+ab$ . Después de un tiempo solo queda un número en el tablero. ¿Cuál es este número?