. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P2. Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ que satisfacen la siguiente condición: la suma de los primeros $m$ números naturales impares excede en $n$ a la suma de los primeros $212$ números naturales pares. P3. Sea $[u]$ la parte entera de un número real $u$ , es decir, el mayor entero que no excede a $u$ . Resuelva en números reales la ecuación \[\left[x+\frac{1}{6}\right]+\left[x+\frac{3}{6}\right]+\left[x+\frac{5}{6}\right]=[x]+\left[x+\frac{2}{6}\right]+\left[x+\frac{4}{6}\right]\] . P4. ¿Existen números reales $a, b, c$ distintos por pares tales que $(a-b)^{5}+(b-c)^{5}+(c-a)^{5}=0$ ? P5. Sobre los lados $AC$ y $AB$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen puntos $M$ y $N$ , respectivamente, tales que $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$ . Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ . Demuestre que $\angle APC=90^{\circ}$ . P6. En un tablero están escritos los números $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}$ . Cada minuto se realiza la siguiente operación: dos números $a$ y $b$ se borran y se reemplazan por el número $a+b+ab$ . Después de un tiempo solo queda un número en el tablero. ¿Cuál es este número?