. Demuestre que para cualesquiera enteros $a, b, c, d$ , el número $abcd(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})(a^{2}-d^{2})(b^{2}-c^{2})(b^{2}-d^{2})(c^{2}-d^{2})$ es divisible por $7$ . P2. En el triángulo $ABC$ se cumplen las siguientes condiciones: $AB=5$ , $BC=10$ y $\angle ABC=90^{\circ}$ . $DEFG$ es un cuadrado tal que los vértices $D$ y $E$ están sobre el segmento $BC$ , el vértice $F$ está sobre el segmento $AC$ , y el vértice $G$ está sobre la circunferencia con centro $A$ que pasa por el punto $B$ . Halle el área de $DEFG$ . P3. Los números positivos $x$ y $y$ satisfacen $xy=4$ . Halle el máximo valor posible de $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}$ . P4. Resuelva la ecuación $\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{r}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{r}=14$ para valores racionales de $r$ . P5. Los números $11$ y $13$ están escritos en un pizarrón. En una jugada, se permite escribir un número más igual a la suma de dos números distintos ya escritos en el pizarrón. ¿Es posible, después de varias jugadas de este tipo, obtener el número $2015$ ? P6. Las diagonales del paralelogramo $ABCD$ se intersecan en el punto $O$ , y las bisectrices de los ángulos $\angle DAC$ y $\angle DBC$ se intersecan en el punto $T$ . Se sabe que $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ . Halle todos los ángulos del triángulo $ABT$ .