. Una prueba de matemáticas en la isla de los caballeros y los bribones fue tomada por $100$ estudiantes, cada uno de los cuales es un caballero (que siempre dice la verdad) o un bribón (que siempre miente). Los primeros $60$ estudiantes, uno por uno al salir del salón después de la prueba, declararon: “Entre los estudiantes que permanecen en el salón, hay más bribones que caballeros”. ¿Cuántos caballeros tomaron la prueba? P2. Una operación $\nabla$ está definida para todos los enteros $n$ como sigue: $\nabla n=n-1$ , si $n$ es impar, y $n^{2}-1$ si $n$ es par. Por ejemplo, $\nabla15=14$ y $\nabla(-6)=35$ . ¿Para cuáles enteros $n$ se cumple la igualdad $\nabla(\nabla n)=3$ ? P3. Desde el vértice $A$ del triángulo $ABC$ , se trazan las perpendiculares $AP$ y $AQ$ a las bisectrices de los ángulos en los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. (a) Demuestre que el segmento $PQ$ es paralelo al lado $BC$ del triángulo $ABC$ . (b) Halle la longitud de $PQ$ si $BC=a$ , $AC=b$ y $AB=c$ . P4. ¿Es posible colocar seis fotógrafos en un plano de modo que cada uno de ellos pueda fotografiar exactamente a otros cuatro? (Los fotógrafos $A$ y $B$ pueden fotografiarse mutuamente si no hay otros fotógrafos en el segmento $AB$ . ) P5. Halle todos los números naturales $n$ tales que los tres números $n^{2}-10n+23, n^{2}-9n+31, n^{2}-12n+46$ son todos primos. P6. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse $4$ naranjas y $15$ manzanas en una fila de modo que entre dos naranjas cualesquiera haya al menos dos manzanas (todas las naranjas son idénticas y todas las manzanas son idénticas)?