. Los números reales $x, y, z$ satisfacen $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ . Demuestre que $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}=3$ . P2. En el lado $AB$ del cuadrado $ABCD$ , se elige un punto $E$ tal que $AB:AE=\sqrt2$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BED$ interseca nuevamente a la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BD$ en el punto $F$ . Demuestre que el triángulo $ABF$ es isósceles. P3. A lo largo de la costa de una isla con forma de círculo, se colocan $2016$ faros. Un funcionario descuidado, simulando actividad vigorosa, cambia el estado de tres faros cada día: o tres consecutivos, o tres igualmente espaciados (es decir, en el patrón $ABABA$ , cambia el estado de los faros $A$ ). El funcionario será despedido si en algún momento todos los faros están apagados. ¿Debería preocuparse por su empleo si recuerda que en algún momento solo un faro estaba encendido? (El estado de un faro se alterna: se enciende si estaba apagado, y viceversa.) P4. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. El punto medio $M$ del lado $AD$ está sobre la mediatriz del lado $BC$ . Demuestre que $M$ es equidistante de los puntos medios de los arcos $\widehat{AB}$ y $\widehat{CD}$ . P5. Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $x^{2}+y^{2}=2x+xy+2y$ . P6. En una gran conferencia de traductores, algunos participantes conocen varios idiomas. Se sabe que $2016$ traductores conocen kazajo, $2016$ conocen ruso y $2016$ conocen inglés. ¿Para cuáles números naturales $p$ es siempre posible elegir un grupo de traductores tal que exactamente $p$ de ellos conozcan kazajo, exactamente $p$ conozcan ruso y exactamente $p$ conozcan inglés?