. Halle $a$ si $\int_{0}^{a}[x]dx=2017$ . (Aquí $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Por ejemplo, $[12.6]=12$ y $[-3.75]=-4$ . ) P2. Resuelva la ecuación $f(2-x)=g(x+1)$ , donde $f(x)$ y $g(x)$ son funciones definidas en $\mathbb{R}$ que satisfacen, para todo real $x$ , $2f(x+1)-g(3-x)=2x^{2}+11x-4, f(3-x)+g(x+1)=x^{2}-5x+19$ . P3. El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia. Las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y se intersecan en el punto $O$ . Desde el punto $O$ , se traza la perpendicular $OP$ al lado $AB$ . La recta $OP$ interseca el lado $CD$ en el punto $Q$ . Halle $OQ$ si $AD=2$ , $AB=1$ y $\angle CDB=30^{\circ}$ . P4. Aibek marca un punto dentro de un hexágono regular y lo conecta mediante segmentos con cada vértice. Los seis triángulos resultantes se colorean alternadamente con dos colores: rojo y verde. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos rojos es igual a la suma de las áreas de los triángulos verdes. P5. Se dan dos polinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes enteros. Demuestre que existe un polinomio $R(x)$ con coeficientes enteros y grado a lo sumo $2$ tal que $R(8) \cdot R(12) \cdot R(2017)=P(8) \cdot P(12) \cdot P(2017) \cdot Q(2017) \cdot Q(12) \cdot Q(8)$ . P6. Papá Noel tiene $674$ manzanas, $674$ naranjas y $674$ mandarinas, que planea enviar como regalos de Año Nuevo a niños de dos ciudades diferentes. Decide distribuir las frutas en dos cajas de modo que cada caja contenga frutas de los tres tipos, y el producto de los números de manzanas, naranjas y mandarinas en cada caja sea el mismo. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?